已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上且过点P(3，12)，离心率是32．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线l过点E（-1，0）且与椭圆C交于A，B两点，若|EA|=2|EB|，求直线l的方程．

Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上且过点P(√(3)，(1)/(2))，离心率是(√(3))/(2)．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l过点E（-1，0）且与椭圆C交于A，B两点，若|EA|=2|EB|，求直线l的方程．

Answer 1

（1）设椭圆C的方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0）．
由已知可得

(c)/(a)＝(√(3))/(2)

(3)/(a2)+(1)/(4b2)＝1

a2＝b2+c2.

，解得a²=4，b²=1．
故椭圆C的标准方程为(x2)/(4)+y2＝1．
（2）由已知，①若直线l的斜率不存在，则过点E（-1，0）的直线l的方程为x=-1，
此时A(−1，(√(3))/(2))，B(−1，−(√(3))/(2))，显然|EA|=2|EB|不成立．
②若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x+1）．
则

作业帮用户 2017-10-17

问题解析

（1）设椭圆C的方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0），利用所给条件列出方程组，解出即可；
（2）易判断直线l不存在斜率时不合题意，当直线存在斜率时，设直线l的方程为y=k（x+1），与椭圆方程联立方程组消掉y得关于x的一元二次方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由|EA|=2|EB|可得关于x₁，x₂的方程，连同韦达定理联立方程组即可求得k值；

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．

考点点评：

本题考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的标准方程的求解，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，有一定综合性．

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