如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．（1）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（2）设AB的中点为D，且CD=A1D，求三棱锥A1-AEF的体积．

Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC₁的中点．

（1）证明：平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
（2）设AB的中点为D，且CD=A₁D，求三棱锥A₁-AEF的体积．

Answer 1

证明：（1）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴B₁B⊥底面ABC，则AE⊥BB₁，
又E是正三角形ABC的边BC的中点，
∴AE⊥BC，
又B₁B∩BC=B，
因此AE⊥平面B₁BCC₁，而AE⊂平面AEF，
∴平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
（2）在正三角形ABC中，由AB=BC=AC=2，得CD=√(3)，
∵CD=A₁D，
∴A₁D=√(3)，
在Rt△AA₁D中，AA₁=√(3-1)=√(2)，
∴三棱锥A₁-AEF的体积=三棱锥E-A₁AF的体积=(1)/(3)×(1)/(2)×√(2)×2×(√(3))/(2)=(√(6))/(6)．