如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练，已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．

Question

如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练，已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若BC=10m，AC=20m，∠BCM=45°，则tanθ的最大值为___．（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）

Answer 1

如图由点P向BC作垂线，连结AG，则∠PAG=θ，
∵BC=10，AC=20，
∴∠ACB=60°，
AG=√(CG2+AC2-2AC•CG•cos∠ACB)=√(CG2+400-20•AG)，
tanθ=(PG)/(AG)=(CG)/(AG)=√((CG2)/(CG2+400-20•CG))=√((1)/((400)/(CG2)-(20)/(CG)+1))，
∴当(1)/(CG)=(20)/(2×400)，即CG=40时，tanθ取最大值，
此时tanθ=(1600)/(400+1600-800)=(2√(3))/(3)．
即tanθ的最大值为(2√(3))/(3)．
故答案为：(2√(3))/(3)．