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如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练,已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角θ的大小

题目详情
如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练,已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角θ的大小(仰角θ为直线AP与平面ABC所成的角).若AB=15m,AC=25m,∠BCM=30°,则tanθ的最大值是(  )

A.
30
5

B.
30
10

C.
4
3
9

D.
5
3
9
▼优质解答
答案和解析
∵AB=15cm,AC=25cm,∠ABC=90°,
∴BC=20cm,
过P作PP′⊥BC,交BC于P′,连接AP′,则tanθ=
PP′
AP′

设BP′=x,则CP′=20-x,
由∠BCM=30°,得PP′=CP′tan30°=
3
3
(20-x),
在直角△ABP′中,AP′=
225+x2

∴tanθ=
3
3
20−x
225+x2

令y=
20−x
225+x2
,则函数在x∈[0,20]单调递减,
∴x=0时,取得最大值为
20
3
45
=
4
3
9

若P′在CB的延长线上,PP′=CP′tan30°=
3
3
(20+x),
在直角△ABP′中,AP′=
225+x2

∴tanθ=
3
3
20+x
225+x2

令y=
(20+x)2
225+x2
,则y′=0可得x=
45
4
时,函数取得最大值
5
3
9

则tanθ的最大值是
5
3
9
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