如图，已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点。（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求证：B1F⊥平面AEF；

Question

如图，已知在直三棱柱ABC- A ₁ B ₁ C ₁ 中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB= AA ₁ ，D、E、F分别为B ₁ A、C ₁ C、BC的中点。

（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求证：B ₁ F⊥平面AEF；
（3）求二面角B ₁ -AE-F的余弦值。

Answer 1

（1）如图，连接A 1 E，并延长A 1 E交AC的延长线于点P，连接BP， 由E为C 1 C的中点，A 1 C 1 ∥CP， 可得A 1 E=EP ∵D，E分别是A 1 B，A 1 P的中点， ∴DE∥BP， 又∵BP 平面ABC，DE 平面ABC， ∴DE∥平面ABC。
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90° F为BC的中点， ∴BC⊥ AF， 又∵B 1 B⊥平面ABC， 由三垂线定理可得B 1 F⊥AF 设AB=AA 1 =2，则B 1 F= ，EF= ，B 1 E=3， ∴B 1 F 2 +EF 2 =B 1 E 2 ， ∴B 1 F⊥EF， ∵AF∩EF=F， ∴B 1 F⊥平面AEF；
（3）如图过F作FM⊥AE于点M，连接B 1 M ∵B 1 F⊥平面AEF，由三垂线定理可得 B 1 M⊥AE， ∴∠B 1 MF为二面角B 1 -AE-F的平面角 又C 1 C⊥平面ABC，AF⊥FC，由三垂线定理可得EF⊥AF， 在Rt△AEF中，可求得 在Rt△B 1 FM中，∠B 1 FM=90° ∴ ∴二面角B 1 -AE-F的余弦值为 。