如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点．（1）求直线BE与A1C所成的角；（2）在线段AA1中上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF

Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB₁=3a，D为A₁C₁的中点，E为B₁C的中点．
（1）求直线BE与A₁C所成的角；
（2）在线段AA₁中上是否存在点F，使CF⊥平面B₁DF，若存在，求出|

AF

|；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵AC=2a，∠ABC=90°，
∴AB＝BC＝√(2)a．
∴B（0，0，0），C（0，√(2)a，0），A（√(2)a，0，0），A₁（√(2)a，0，3a），C₁（0，√(2)a，3a），B₁（0，0，3a）．
∴D((√(2))/(2)a，(√(2))/(2)a，3a），E（0，

作业帮用户 2017-11-03

问题解析

（1）先以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，再求得相关点的坐标，再求的相关向量的坐标，最后用向量夹角公式求解．（2）假设存在点F，要使CF⊥平面B₁DF，只要证明

CF

⊥

B1F

且

CF

⊥

B1D

即可，用向量法只要数量积为零即可．

名师点评

本题考点：

异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．

考点点评：

本题主要考查用向量法研究线线垂直和异面直线所成的角，选用向量法，避开了作辅助线，优越性很强，作为理科要注意应用．

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