如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形（侧棱垂直于底面的三棱柱叫做直三棱柱），∠A1C1B1＝90o，A1C1=1，AA1＝3，D是线段A1B1的中点．（1）证明：平面AC1D⊥平面A1B1BA；（2）证明：B1C

Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是等腰直角三角形（侧棱垂直于底面的三棱柱叫做直三棱柱），∠A1C1B1＝90o，A₁C₁=1，AA1＝√(3)，D是线段A₁B₁的中点．
（1）证明：平面AC₁D⊥平面A₁B₁BA；
（2）证明：B₁C∥平面A C₁D；
（3）求棱柱ABC-A₁B₁C₁被平面AC₁D分成的两部分的体积之比．

Answer 1

（1）∵△A₁B₁C₁是等腰直角三角形，∠A₁C₁B₁=90°且D是线段A₁B₁的中点
∴C₁D⊥A₁B₁
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱
∴平面A₁B₁C₁⊥平面A₁B₁BA
又∵平面A₁B₁C₁与平面A₁B₁BA的交线为A₁B₁
∴C₁D⊥平面A₁B₁BA      …（3分）
又C₁D⊂平面AC₁D    …（4分），
∴平面AC₁D⊥平面A₁B₁BA …（5分）
（2）连接A₁C，交AC₁于M，连接DM，则
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是矩形    …（6分）
∴M是A₁C的中点，
∴△A₁B₁C中，DM是中位线，可得DM∥B₁C …（7分）
又DM⊂平面AC₁D   B₁C⊄平面AC₁D  …（8分）
∴B₁C∥平面AC₁D  …（9分）
（3）由（1）得，在Rt△A₁B₁C₁中，A₁C₁=B₁C₁=1，D为A₁B₁中点
∴S_△A1C1D=(1)/(2)S_△A1B1C1=(1)/(2)（(1)/(2)×1×1）=(1)/(4)    …（11分）
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面A₁B₁C₁
∴AA1＝√(3)是三棱锥A-A₁C₁D的高，也是直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高     …（12分）
∴(V三棱锥A−A1C1D)/(V三棱柱ABC−A1B1C1)＝((1)/(3)S△A1C1D•AA1)/(S△A1B1C1•AA1)=((1)/(3)×(1)/(4)×√(3))/((1)/(2)×√(3))=(1)/(6)   …（13分）
∴棱柱ABC