过点P(4,1)的直线l交椭圆x^2/4+y^2/2=1于A,B两不同点,在线段AB上取点Q,满足AP*QB=AQ*PB,证明：Q总在某条定直线上.注意：要求使用定比分点公式证明.请速回答，快者额外给分

Question

过点P(4,1)的直线l交椭圆x^2/4+y^2/2=1于A,B两不同点,在线段AB上取点Q,满足AP*QB=AQ*PB,证明：Q总在某条定直线上.
注意：要求使用定比分点公式证明.
请速回答，快者额外给分

Answer 1

证：设点Q坐标(Xq,Yq),点A坐标(Xa,Ya),点B坐标(Xb,Yb)
设过点P(4,1)直线l方程为y=k(x-4)+1,与椭圆方程x²/4 +y²/2=1联立消去y得：
(1+2k²)x²+(4k-16k²)x+32k²-16k-2=0
则Xa和Xb是此方程的两根,根据韦达定理,满足下列结论：
① Xa+Xb=(16k²-4k)/(1+2k²),
② Xa*Xb=(32k²-16k-2)/(1+2k²)
∵AP*QB=AQ*PB
∴PB/PA=QB/QA,设比值为w,w=(Xb-4)/(Xa-4)
则AB/PA=(PB-PA)/PA=w-1
根据定比分点公式,Xa=[Xb+(w-1)Xp]/(1+w-1)=(Xb+4w-4)/w
Xq=(Xb+wXa)/(1+w)
=(Xb+Xb+4w-4)/(1+w)
=2(Xb-4)/(1+w) +4
=2(Xb-4)/[1+ (Xb-4)/(Xa-4)] +4
=[2XaXb-8(Xa+Xb)+32]/(Xa+Xb-8) +4
代入①和②化简得：
Xq=4 - 7/(k+4)
由于Q点在直线l上,
∴Yq=k(Xq-4)+1=-7k/(k+4) +1=28/(k+4) -6
∴(Yq+6)/(Xq-4)=[28/(k+4)]/[-7/(k+4)]=-4
Yq=-4(Xq-4)-6=10-4Xq
所以Q点总在直线y=10-4x上