如图所示，纸面内有一直角坐标系xOy，a、b为坐标轴上的两点，其坐标分别为（0，2l）、（3l，0），直线MN过b点且可根据需要绕b点在纸面内转动，MN右侧存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感

Question

如图所示，纸面内有一直角坐标系xOy，a、b为坐标轴上的两点，其坐标分别为（0，2l）、（3l，0），直线MN过b点且可根据需要绕b点在纸面内转动，MN右侧存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一质量为m，电荷量为q（q>0）的带电粒子从a点平行x轴射入第一象限，若MN绕b点转到合适位置，就能保证粒子经过磁场偏转后恰好能够到达b点，设MN与x轴负方向的夹角为θ，不计粒子重力．

（1）若粒子经过b点时速度沿y轴负方向，求角θ的值和粒子的初速度v₁；
（2）若粒子的初速度为v₂=(4qBl)/(3m)，求粒子从a运动到b的时间；
（3）在保证粒子能够到达b点的前提下，粒子速度取不同的值时，粒子在磁场中的轨迹圆的圆心位置就不同，求所有这些圆心所在曲线的方程．

Answer 1

（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子运动轨迹如图所示：

由几何知识得，粒子轨道半径：r=2L，直线MN过（L，2L）点，
tanθ=(2L)/(2L)=1，θ=90°，
洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qv₁B=m(v21)/(r)，
解得：v₁=(2qBL)/(m)；
（2）洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qv₂B=m(v22)/(R)，
解得：R=(4)/(3)L，
粒子运动轨迹如图所示：

由几何知识得：cosβ=(2L-(4)/(3)L)/((4)/(3)L)=(1)/(2)，β=60°，α=180°-β=180°-60°=120°，
粒子在磁场中的运动时间：t=(α)/(360°)T=(120°)/(360°)×(2πm)/(qB)=(2πm)/(3qB)；
（3）设圆心坐标为（x，y），由（2）可知，
圆心到y=2L的距离等于到b点的距离，
即：2L-y=√((3L-x)2+y2)，
解得：y=L-((x-3L)2)/(4L)；
答：（1）若粒子经过b点时速度沿y轴负方向，角θ的值为45°，粒子的初速度v₁为(2qBL)/(m)；
（2）若粒子的初速度为v₂=(4qBl)/(3m)，粒子从a运动到b的时间为(2πm)/(3qB)；
（3）所有这些圆心所在曲线的方程是：y=L-((x-3L)2)/(4L)．