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设e1,e2分别为具有公共焦点F1,F2的椭圆双曲线的离心率,P是两曲线的一个公共点,且满足|向量PF1+向量PF2|=|向量F1F2|,则e1e2/根号(e1^2+e2^2)的值为
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设e1,e2分别为具有公共焦点F1,F2的椭圆双曲线的离心率,P是两曲线的一个公共点,且满足|向量PF1+向量PF2|=|向量F1F2|,则e1e2/根号(e1^2+e2^2)的值为
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答案和解析
设|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,
不妨设m＞n,由|PF1+PF2|=|F1F2|,可知∠F1PF2=90°
∴m^2+n^2=4c^2,
∵e1=2c/(m+n),e2=2c/(m-n)
∴1/e1^2+1/e2^2=2(m^2+n^2)/4c^2=2
∴e1e2/√(e1^2+e2^2)= √2/2
设|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,
不妨设m＞n,由|PF1+PF2|=|F1F2|,可知∠F1PF2=90°
∴m^2+n^2=4c^2,
∵e1=2c/(m+n),e2=2c/(m-n)
∴1/e1^2+1/e2^2=2(m^2+n^2)/4c^2=2
∴e1e2/√(e1^2+e2^2)= √2/2
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