中心在原点的椭圆C1与双曲线C2具有相同的焦点，F1（-c，0），F2（c，0），P为C1与C2在第一象限的交点，|PF1|=|F1F2|且|PF2|=5，若椭圆C1的离心率e1∈(35，23)，则双曲线的离心率e2的范围是（）

Question

中心在原点的椭圆C₁与双曲线C₂具有相同的焦点，F₁（-c，0），F₂（c，0），P为C₁与C₂在第一象限的交点，|PF₁|=|F₁F₂|且|PF₂|=5，若椭圆C₁的离心率e1∈(

(3)/(5)，(2)/(3))，则双曲线的离心率e₂的范围是（　　）

A. (

(3)/(2)，(5)/(3))

B. (

(5)/(3)，2)

C. （2，3）

D. (

(3)/(2)，3)

Answer 1

设椭圆的方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a>b>0），
其离心率为e₁，
双曲线的方程为(x2)/(m2)-(y2)/(n2)=1（m>0，n>0），其离心率为e₂，
|F₁F₂|=2c，
∵有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，
△PF₁F₂是以PF₂为底边的等腰三角形，
∴在椭圆中，|PF₁|+|PF₂|=2a，而|PF₁|=|F₁F₂|=2c，
∴|PF₂|=2a-2c，①
同理，在该双曲线中，|PF₂|=2c-2m；②
由①②可得m=2c-a．
∵e₁=(c)/(a)∈（(3)/(5)，(2)/(3)），
∴(3)/(2)<(1)/(e1)<(5)/(3)，
又e₂=(c)/(m)=(c)/(2c-a)=(e1)/(2e1-1)=(1)/(2-(1)/(e1))∈（2，3）．
故选：C．