在直角坐标系xOy中，圆C1：（x-1）2+（y-2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C1的极坐标方程；（2）若直线x=ty=t（t参数）与圆C1的交点为M，N，求△C1MN的面积

Question

在直角坐标系 xOy中，圆C₁：（x-1）²+（y-2）²=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求C₁的极坐标方程；
（2）若直线

x=t

y=t

（t参数）与圆C₁的交点为M，N，求△C₁MN的面积（C₁圆心）．

Answer 1

（1）∵圆C₁：（x-1）²+（y-2）²=1，
∴x²+y²-2x-4y+4=0，
∵ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，
∴C₁的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0．
（2）∵直线

x=t

y=t

（t参数），∴直线的直角坐标方程为y=x，
联立

(x-1)2+(y-2)2=1

y=x

，得

x=1

y=1

，或

x=2

y=2

，
∴M（1，1），N（2，2），C₁（1，2），
∴MC₁=1，NC₁=1，MN=√((2-1)2+(2-1)2)=√(2)，
∴MC₁²+NC₁²=MN²，∴MC₁⊥NC₁，
∴△C₁MN的面积S=(1)/(2)×MC1×NC1=(1)/(2)×1×1=(1)/(2)．