等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足ADDB=CEEA=12（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1-DE-B成直二面角，连结A1B、A1C（如图2）．（Ⅰ）求证：A1D⊥平面

Question

等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足(AD)/(DB)=(CE)/(EA)=(1)/(2)（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使二面角A₁-DE-B成直二面角，连结A₁B、A₁C（如图2）．

（Ⅰ）求证：A₁D⊥平面BCED；
（Ⅱ）若点P在线段BC上，PB=(5)/(2)，求直线PA₁与平面A₁BD所成的角．

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为等边△ABC的边长为3，且(AD)/(DB)＝(CE)/(EA)＝(1)/(2)，
所以AD=1，AE=2．
在△ADE中，∠DAE=60°，
由余弦定理得DE=√(12+22−2×1×2×cos60°)=√(3)．
因为AD²+DE²=AE²，所以AD⊥DE．
折叠后有A₁D⊥DE．因为二面角A₁-DE-B是直二面角，
所以平面A₁DE⊥平面BCED．又平面A₁DE∩平面BCED=DE，
A₁D⊂平面A₁DE，A₁D⊥DE，所以A₁D⊥平面BCED．
（Ⅱ）假设在线段BC上存在点P，
使直线PA₁与平面A₁BD所成的角为60°．如图，
作PH⊥BD于点H，连结A₁H、A₁P．
由（Ⅰ）有A₁D⊥平面BCED，而PH⊂平面BCED，
所以PH⊥A₁D．又A₁D∩BD=D，所以PH⊥平面A₁BD．
所以∠PA₁H是直线PA₁与平面A₁BD所成的角．
设PB=x，（0≤x≤3），则BH=(x)/(2)，PH=(√(3))/(2)x．
在Rt△PA₁H中，∠PA₁H=60°，
所以A1H＝(1)/(2)x，在Rt△A₁DH中，DH=2-(1)/(2)x．
由A1D2+DH²=A₁H²，得12+(2−(1)/(2)x)2＝((1)/(2)x)2．
解得x=(5)/(2)，满足0≤x≤3，符合题意．
所以在线段BC上存在点，使直线PA₁与平面A₁BD所成的角为60°，此时PB=(5)/(2)．