（2012•浙江模拟）如图1所示，Rt△ABC中，BC=2，CA=3，点P在线段AB上，将△BPC沿CP折成直二面角S-CP-A（点B与点S重合），且SA=7（图2）．（1）求∠SCP的度数；（2）求二面角P-SC-A的余弦值．

Question

（2012•浙江模拟）如图1所示，Rt△ABC中，BC=2，CA=3，点P在线段AB上，将△BPC沿CP折成直二面角S-CP-A（点B与点S重合），且SA=√(7)（图2）．

（1）求∠SCP的度数；
（2）求二面角P-SC-A的余弦值．

Answer 1

（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设∠SCP=α，则A（2cosα-3sinα，3cosα，-2sinα），C（2cosα，0，0），S（0，0，2sinα）
∴

SA

=（2cosα-3sinα，3cosα，-2sinα），
∴|

SA

|=√(13−6sin2α)=√(7)，∴sin2α=1，∴α=(π)/(4)
（2）平面PSC的法向量为

n1

＝(0，1，0)
设平面ASC的法向量为

n2

＝(x，y，z)
∵

SC

＝(√(2)，0，−

作业帮用户 2017-11-13

问题解析

（1）建立空间直角坐标系，用坐标表示

SA

，利用SA=√(7)，即可求得∠SCP的度数；
（2）平面PSC的法向量为

n1

＝(0，1，0)，平面ASC的法向量为

n2

＝(1，1，1)，利用向量的夹角公式，即可求得二面角P-SC-A的余弦值．

名师点评

本题考点：

二面角的平面角及求法．

考点点评：

本题考查利用空间向量解决立体几何问题，考查面面角，正确求出平面的法向量是关键．

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