如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直．EF∥AC，AB=2，CE=EF=1，∠ECA=60°．（1）求证：AF∥平面BDE；（2）求异面直线AB与DE所成角的余弦值．

Question

如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直．EF∥AC，AB=√(2)，CE=EF=1，∠ECA=60°．
（1）求证：AF∥平面BDE；
（2）求异面直线AB与DE所成角的余弦值．

Answer 1

（1）证明：∵ABCD是正方形，且AB=√(2)，
∴AO=1，又EF∥AC，EF=1，
∴EFAO为平行四边形，则AF∥OE，而AF⊄面BDE，OE⊂面BDE，
∴AF∥面BDE （3分）
（2）∵ABCD是正方形，
∴AB∥CD
∴∠EDC为异面直线AB与DE所成的角或其补角 （2分）
又BD⊥AC，又面ABCD⊥面ACEF，且面ABCD∩面ACEF=AC
∴BD⊥面ACEF，又OE⊂面ACEF，
∴BD⊥OE．
而由EC=1，OC=OA=1，∠ECA=60°
∴OE=1，又OD=1，则ED=√(OE2+OD2)＝√(2)
又CD=√(2)，CE=1，
∴Cos∠EDC＝(2+2−1)/(2×√(2)×√(2))＝(3)/(4)
∴异面直线AB与DE所成的角的余弦值为(3)/(4)（3分）