已知异面直线a,b所成角为60°,P为空间一定点,则过点P与a,b所成的角都是60°的直线有几条?类似题目有什么拓展?

Question

已知异面直线a,b所成角为60°,P为空间一定点,则过点P与a,b所成的角都是60°的直线有几条?
类似题目有什么拓展?

Answer 1

过定点P有且只有一条直线c平行与a,再过定点p有且只有一条直线平行d与b,
因为c与d相交于定点p,所以c与d在同一个平面M上,
因为a平行c,a与b成60度角,c在平面M上,
所以a平行于平面M或在平面M上,且c与b成60度角,
因为d平行与b,c与b成60度角,d在平面M上,
所以b平行与平面M或在平面M上,且c与d成60度角,
在平面M上过点p有且只有一条直线e平分c与d的120度的夹角,则直线e与c以及e与d所成的角度都为60度,
因为c平行于a,所以e与a成60度角,同理e与b成60度角.
易知,在平面M上有且尽有这一条直线e与c以及d成60度角.
另设有一条直线f过p点且同时与a,b成60度角,则f不在平面M上且与M相交与点p,f与c以及d都成60度角,
在c,d,f同一方向各取一点C,D,F,则使线段pC=pD=PF,
因为f与c,d都成60度角,且c与d成60度角,
所以线段pC=PD=pF=CD=CF=DF,所以四方体pCDF是一个正4面体,
由于点p和c,d都确定,满足这样条件的f有且只有两条,两个方向,一个方向一条,由上知,答案是有三天直线同时与a,b成60度角,为e,f,g