直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠ABC＝60°，侧棱AA1长等于3a，O为底面ABCD对角线的交点．(1)求证：OA1∥平面B1CD1；(2)求异面直线AC与A1B所成的角；(3)在棱AA1上取

Question

直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠ABC＝60°，侧棱AA₁长等于3a，O为底面ABCD对角线的交点．

(1)求证：OA₁∥平面B₁CD₁；

(2)求异面直线AC与A₁B所成的角；

(3)在棱AA₁上取一点F，问AF为何值时，C₁F⊥平面BDF？

Answer 1

　　(方法一)(1)连A₁C₁，设其与B₁D₁交于点O₁．

　　∵A₁O₁OC，∴四边形A₁O₁OC为平行四边形，

　　∴OA₁//O₁C，平面B₁CD₁，平面B₁CD₁，

　　∴OA₁∥平面B₁CD₁．　　　　　　　　　　3分

　　(2)∵A₁C₁//AC，∴就是异面直线AC与A₁B所成的角或其补角．

　　由题意得

　　根据余弦定理得　　　　　　　　6分

　　故异面直线AC与A₁B所成的角为　　　　　　　　　　7分

　　(3)∵ABCD是菱形，∴又∴平面．

　　∵平面，∴　　　　　　　　　　　　　　　　9分

　　故C₁F⊥平面BOF∴．　　　　10分

　　设，则∴即

　　解得

　　故当AF时，C₁F⊥平面BOF．　　　　　　　　12分

　　(方法二)以O为原点，OC、OD所在直线分别为

　　x轴、y轴，则O(0，0，0)，，，

　　，，

　　．　　　　3分

　　(1)

　　

　　∴平面，平面，

　　∴OA₁∥平面B₁CD₁．　　　　　　　　　　　　　　　　5分

　　(2)，

　　，

　　于是

　　故异面直线AC与A₁B所成的角为　　　　　　　　　　　8分

　　(3)设为上任意一点，则．

　　∵，于是C₁F⊥平面BOF

　　解得．即时，C₁F⊥平面BOF．　　　　　　　12分