设随机变量X与Y相互独立,且都服从正态分布N（0,δ^2）,又X=αX+βY,Y=αX-βY（α,β为不相等常数）,求1,X与Y的相关系数2,X与Y相互独立的条件最好有过程,比如,E（X）E（Y）是多少.

Question

设随机变量X与Y相互独立,且都服从正态分布N（0,δ^2）,又X=αX+βY,Y=αX-βY（α,β为不相等常数）,求
1,X与Y的相关系数
2,X与Y相互独立的条件
最好有过程,比如,E（X）E（Y）是多少.

Answer 1

cov(X,Y)=cov(αX+βY,αX-βY)=α*α*cov(x,y)+2abcov(x,y)+β*β*cov(y,-y)
=2α*βcov(x,y)+α*α-β*β=α*α-β*β.(因为随机变量X与Y相互独立,cov(x,y)=0).
所以相关系数p(X,Y)=cov(X,Y)/(X标准差)*（Y标准差）.
X方差E(X*X)-E(X)*E(X)=E[(αX+βY)*(αX+βY)]=E(α*α*X*X)+E(2α*X*βY)+E(βY*βY)=α*α*δ^2+β*β*δ^2
Y方差通理也为α*α*δ^2+β*β*δ^2.
所以相关系数p(X,Y)=cov(X,Y)/(X标准差)*（Y标准差）=（α*α-β*β）/（α*α*δ^2+β*β*δ^2）.
2若X与Y相互独立的条件,则有cov(X,Y)=0.由1有α=β,或者α=-β.