（2010•广东）如图，弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC⊥平面BED，FB=5a．（1）证明：EB⊥FD；（2）求点B到平面FED的距离

Question

（2010•广东）如图，弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC⊥平面BED，FB=√(5)a．
（1）证明：EB⊥FD；
（2）求点B到平面FED的距离．

Answer 1

（1）证明：∵点E为弧AC的中点
∴∠ABE=(π)/(2)，即BE⊥AC
又∵FC⊥平面BED，BE⊂平面BED
∴FC⊥BE
又∵FC、AC⊂平面BFD，FC∩AC=C
∴BE⊥平面BFD而FD⊂平面BFD
∴EB⊥FD
（2）FC=√(BF2−BC2)=√(5a2−a2)=2a
S_△EBD=(1)/(2)BE•BD=(1)/(2)a•2a＝a2
在Rt△FBE中，EF=√(6)a
而FD=ED=√(5)a
∴S_△FED=(1)/(2)FE•H_EF=(1)/(2)•√(6)a•√(5a2−((√(6)a)/(2))2)=(√(21))/(2)a2
由等体积法可知：
(1)/(3)S_△EBD•FC=(1)/(3)S_△FED•h
解得：h=(4√(21))/(21)a
即点B到平面FED的距离为(4√(21))/(21)a