一道难题（1）计算凸十边形所有对角线的条数,以及以凸十边形顶点为顶点的三角形的个数.（2)在凸十边形每个顶点处任意标上一个自然数,在（1)中的三角形,若三个顶点所标三数之和为奇数,

Question

一道难题
（1）计算凸十边形所有对角线的条数,以及以凸十边形顶点为顶点的三角形的个数.
（2)在凸十边形每个顶点处任意标上一个自然数,在（1)中的三角形,若三个顶点所标三数之和为奇数,则称该三角形为奇三角形：若三数之和为偶数,则称为偶三角形.试判断：奇三角形的个数是奇数还是偶数?并说明理由

Answer 1

（1）这个问题有很多种解法：
1归纳法：很容易得出,四边形有两条对角线,五边形有五条对角线,六边形九条对角线,七边形有14条对角线.可以归纳出一条规律,n边形比n-1边形多n-2条对角线,经过叠加后可得凸十边形的对角线条数：2+3+4+5+6+7+8=35（条）.值得注意的是,这里没有给出证明,虽然这个猜想是正确的,但是很不严谨,要是正规的解这道题一定要给出严格证明.
2直接算法：凸十边形有十个顶点,每个顶点都可以引出7条对角线,一共有70条对角线,但是一条对角线有两个端点,也就是由两个顶点连成,所以每条对角线都计算了两遍,那么凸十边形的对角线共有70/2=35条.
3排列法（注意是排列不是组合,下同）这个问题可以理解为从十个点选两个点的选法,就是10选2（前面已说过,这里的10选2是排列,也就是C的右上角标是2,右下角标为10,下同）,算法是10
*9/2=45（条）,但相邻的点不能选,这样的选法共有10种（就是十条边）,所以,凸十边形的对角线共有45-10=35条.
（2）偶数个.首先,你没有说明奇数偶数各标多少个,如果任意标,只标0个奇数,那么奇三角形就有0个,可以姑且认为它是偶数；只标一个奇数,那么奇三角形就有9选2为9*8/2=36个；只标两个奇数,那么奇三角形就有2倍的8选2为2*8*7/2=56个；标三个奇数,那么奇三角形就有3倍的7选2加1为3*7*6/2+1=64个,这时仍为偶数个.你自己算算吧,我有一种算法：首先,一个奇数两个偶数或三个奇数和为奇数,那么接着这个问题可以抽象为从十个点中选三个点构成三角形（同样是排列）,就是10选3,当你没有标奇数时,当然不会有奇三角形,标一个奇数那么你先固定选这个点,此时剩下了9个点,再从这9个点里选2个点个数就是9选2,标了两个点时先固定选这两个点中的一个点,把另一个点去掉,此时就剩下了8个点,共有8选2个奇三角形,在固定选另一个奇数点,仍有8选2个三角形,那么就有2倍的8选2个奇三角形.标三个奇数时按同样的方法可以算出有3倍的7选2个,但三个奇数和也为奇数,那就要再加一种选这三个奇数点的三角形,则共有3倍的7选2加1个,其余的以此类推,但要注意标的奇数点多了之后（大于三个）要在所有的奇数点里再选一次,比如你标了5个奇数点那就有五倍的5选2加上5选3,按这样的方法就可以算出其余的情况了.
算完后最终我们可以得出标n（n小于或等于8）个奇数点时共有n倍的10-n选2加n选3,化简后得到一个多项式：（2n^3+30n^2+136n）/3容易验证这个多项式的值当n小于或等于8均为偶数（一个数除以奇数还保持原来的奇偶性,所以看括号里的系数全为偶数,一个数乘以偶数一定为偶数,所以这个多项式的值为偶数）,当n=9时,有9选2（36）个,n=10时,有10选3（120）个,也为偶数,那么就说明了共有奇三角形有偶数个.