一个凸n边形的每个内角的度数都是30°的倍数且它至少有3个内角等于90°求n的所有可能值RT

Question

一个凸n边形的每个内角的度数都是30°的倍数 且它至少有3个内角等于90° 求n的所有可能值
RT

Answer 1

由题意,凸n边形的的内角可能度数为30、60、90、120、150.
n边形的内角和为180×（n-2）
考虑极端情况,若其余内角均为150度,则180×（n-2）=90×3+150（n-3）
得n=6.
再假设其余内角平均值为x度,则180×（n-2）=90×3+ x（n-3）,
即x=180- 90/（n-3）,所以当n>6时,x>150,因为内角最大值为150度,这显然是矛盾的.
所以n只能为6,5,4.
再验证,当n=4时,4个角均为90度
当n=5时,3个角均为90度,2个角为135度
当n=6时,3个角均为90度,3个角为150度.