什么图形能用尺规作和最麻烦的尺规作图要求证明他为什么能用尺规作（高斯的尺规作图证明方法也行）

Question

什么图形能用尺规作和最麻烦的尺规作图
要求证明他为什么能用尺规作（高斯的尺规作图证明方法也行）

Answer 1

如何证明尺规作图三等分一个角是不可能问题？
1）.先说明尺规作图可能问题：
一个作图题中的所作的未知量，若能由若干已知量经过有限次的有理运算及开平方算出时，这个作图题便能由尺规作出。
2）.定理：
一个一元三次方程若它没有有理根，则长度等于它的任何实数根的线段是不能用尺规作出的。
3）.证明尺规作图三等分任意角是不可能的：
设已知角为3a ,平分后的每一个角为a ,作单位圆交角于A、B、C
过B作BD⊥OA于D，过C作CE⊥OA于E ，
令OD＝m ,OE=x ,则m=cos(3a) ,x=cosa ,代入三角恒等式中：
cos(3a)= 4*(cosa)^3 - 3*cosa 得：4x^3 -3x -m = 0
由于在一般的情况下4x^3 -3x -m = 0 不是都有有理根(艾森斯坦因判别法)
所以根据上面的定理，任意三等分角用尺规作出是不可能的。