已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）．（1）当b=2，c=-3时，求二次函数图象的顶点坐标；（2）当c=10时，若在函数值y=1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；（

Question

已知二次函数y=x²+bx+c（b，c为常数）．
（1）当b=2，c=-3时，求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当c=10时，若在函数值y=1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；
（3）当c=b²时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．

Answer 1

（1）当b=2，c=-3时，二次函数的解析式为y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
故当x=-1时，二次函数取得最小值-4；
（2）当c=10时，二次函数的解析式为y=x²+bx+10，
由题意得，x²+bx+10=1有两个相等是实数根，
∴△=b²-36=0，
解得b₁=6，b₂=-6，
∴二次函数的解析式y=x²+6x+10，y=x²-6x+10；
（3）当c=b²时，二次函数解析式为y═x²+bx+b²，
图象开口向上，对称轴为直线x=-(b)/(2)，
①当-(b)/(2)<b，即b>0时，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而增大，
∴当x=b时，y=b²+b•b+b²=3b²为最小值，
∴3b²=21，解得b₁=-√(7)（舍去），b₂=√(7)；
②当b≤-(b)/(2)≤b+3时，即-2≤b≤0，
∴x=-(b)/(2)，y=(3)/(4)b²为最小值，
∴(3)/(4)b²=21，解得b₁=-2√(7)（舍去），b₂=2√(7)（舍去）；
③当-(b)/(2)>b+3，即b<-2，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而减小，
故当x=b+3时，y=（b+3）²+b（b+3）+b²=3b²+9b+9为最小值，
∴3b²+9b+9=21．解得b₁=1（舍去），b₂=-4；
∴b=√(7)时，解析式为：y=x²+√(7)x+7
b=-4时，解析式为：y=x²-4x+16．
综上可得，此时二次函数的解析式为y=x²+√(7)x+7或y=x²-4x+16．