已知A，B，C是斜三角形ABC的三个内角，求证：（1）tanA2tanB2+tanB2tanC2+tanA2tanC2=1；（2）tan2A+tan2B+tan2C=tan2Atan2Btan2C．

Question

已知A，B，C是斜三角形ABC的三个内角，求证：
（1）tan(A)/(2)tan(B)/(2)+tan(B)/(2)tan(C)/(2)+tan(A)/(2)tan(C)/(2)=1；
（2）tan2A+tan2B+tan2C=tan2Atan2Btan2C．

Answer 1

证明：（1）左边=tan(B)/(2)（tan(A)/(2)+tan(C)/(2)）+tan(A)/(2)tan(C)/(2)
=tan(B)/(2)tan（(A)/(2)+(C)/(2)）（1-tan(A)/(2)tan(C)/(2)）+tan(A)/(2)tan(C)/(2)
∵在△ABC中，(B)/(2)+(A)/(2)+(C)/(2)=90°，
∴tan(B)/(2)tan（(A)/(2)+(C)/(2)）=1，
∴左边=1-tan(A)/(2)tan(C)/(2)+tan(A)/(2)tan(C)/(2)=1，
∴左边=右边，得证．
（2）∵A+B+C=180°，可得：2C=360°-（2A+2B），
∴tan2C=-tan（2A+2B）=-(tan2A+tan2B)/(1-tan2Atan2B)，
整理可得：tan2C-tan2Atan2Btan2C=-tan2A-tan2B，
∴tan2A+tan2B+tan2C=tan2Atan2Btan2C．得证．