（2013•本溪一模）如图，已知：△ABC是的⊙O内接三角形，D是OA延长线上的一点，连接DC，且∠B=∠D=30°．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，∠ACB=45°，求弦AB的长．

Question

（2013•本溪一模）如图，已知：△ABC是的⊙O内接三角形，D是OA延长线上的一点，连接DC，且∠B=∠D=30°．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=6，∠ACB=45°，求弦AB的长．

Answer 1

（1）直线CD与⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接OC，
∵∠AOC和∠ABC分别是弧AC对的圆心角和圆周角，
∴∠AOC=2∠ABC=2×30°=60°，
∵∠D=30°，
∴∠OCD=180°-60°-30°=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC为半径，
∴直线DC是⊙O的切线，
即直线CD与⊙O的位置关系是相切．

（2）连接OB，
∵∠AOB和∠ACB分别是弧AB对的圆心角和圆周角，
∴∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°，
∵∠AOC=60°，OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA=AC=6=OB，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=√(62+62)=6√(2)．