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求证直线与平面垂直的判定定理
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求证直线与平面垂直的判定定理
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答案和解析
如果一条直线l1和一个平面内两条相交直线l2和l3都垂直,则这条直线和这个平面垂直.
证明：设l是这个平面上任意一条直线,在l、l1、l2和l3上分别取向量e、e1、e2和e3,由于l2和l3相交,所以e=αe2+βe3,其中α和β均为常数.因为l1与l2、l3都垂直,所以e1·e2=0,e1·e3=0,从而e·e1=（αe2+βe3）·e1=αe2·e1+βe3·e1=0,所以l1和l垂直,故l1和这个平面垂直.
证明：设l是这个平面上任意一条直线,在l、l1、l2和l3上分别取向量e、e1、e2和e3,由于l2和l3相交,所以e=αe2+βe3,其中α和β均为常数.因为l1与l2、l3都垂直,所以e1·e2=0,e1·e3=0,从而e·e1=（αe2+βe3）·e1=αe2·e1+βe3·e1=0,所以l1和l垂直,故l1和这个平面垂直.
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