在学习二项式定理时，我们知道杨辉三角中的数具有两个性质：①每一行中的二项式系数是“对称”的，即第1项与最后一项的二项式系数相等，第2项与倒数第2项的二项式系数相等，…

Question

在学习二项式定理时，我们知道杨辉三角中的数具有两个性质：①每一行中的二项式系数是“对称”的，即第1项与最后一项的二项式系数相等，第2项与倒数第2项的二项式系数相等，…；②图中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．我们也知道，性质①对应于组合数的一个性质：c _n ^m =C _n ^n-m ．
（1）试写出性质②所对应的组合数的另一个性质；
（2）请利用组合数的计算公式对（1）中组合数的另一个性质作出证明．

Answer 1

（1）性质②所对应的组合数的另一个性质是
      

C

mn+1

=

C

mn

+

C

m-1n

   
（2）因为

C

mn+1

=((n+1)!)/(m!(n+1-m)!)
     

C

mn

+

C

m-1n

= (n!)/(m!(n-m)!) + (n!)/((m-1)!(n+1-m)!)                  
= (n![(n+1-m)+m])/(m!(n+1-m)!) = (n!(n+1))/(m!(n+1-m)!) = ((n+1)!)/(m!(n+1-m)!)
所以

C

mn+1

=

C

mn

+

C

m-1n