如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；（2）若AC=5，BC=12，求OE的长．

Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．

（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；
（2）若AC=5，BC=12，求OE的长．

Answer 1

（1）证明：过点O作OM⊥AB，
∵BD是∠ABC的一条角平分线，
∴OE=OM，
∵四边形OECF是正方形，
∴OE=OF，
∴OF=OM，
∴AO是∠BAC的角平分线，即点O在∠BAC的平分线上；

（2） ∵在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，
∴AB=√(AC2+BC2)=√(52+122)=13，
设CE=CF=x，BE=BM=y，AM=AF=z，
∴

x+y=12

y+z=13

x+z=5

，
解得：

x=2

y=10

z=3

，
∴CE=2，
∴OE=2．