数列{An}如果A1＝2,A2＝-1,An+2＝｜An+1-An｜求A2010,证明从{An}中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列

Question

数列{An}
如果A1＝2,A2＝-1,An+2＝｜An+1-An｜
求A2010,
证明从{An}中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列

Answer 1

A1=2
A2=-1
A3=3
A4=4
A5=1
A6=3
A7=2
A8=1
A9=1
A10=0
A11=1
A12=1
A13=0
A14=1
A15=1
A16=0
.
可以看出,从第八项开始,每三个一循环,其值分别是1,1,0
2010=7+3×667+2
即A2010是从A8开始第667次循环之后的数,为第668次循环的第二个数,
即得A2010=1
由上图可以看出,
选A8,A11,A14,A17,A20,...可以组成常数数列1,1,1,1,1,...
选A10,A13,A16,A19,A22,...可以组成常数数列0,0,0,0,0,...
即得从{An}中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列
证毕!