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黄金分割比是生活中比较多见的一种长度比值,它能给人许多美感和科学性,我们初中阶段学过的许多几何图形也有着类似的边长比例关系.例如我们熟悉的顶角是36°的等腰三角形,其底与

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黄金分割比是生活中比较多见的一种长度比值,它能给人许多美感和科学性,我们初中阶段学过的许多几何图形也有着类似的边长比例关系.例如我们熟悉的顶角是36°的等腰三角形,其底与腰之比就为黄金分割比
5
−1
2
,底角平分线与腰的交点为黄金分割点.
(1)如图1,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,∠ACB的角平分线CD交腰AB于点D,请你证明点D是腰AB的黄金分割点;
(2)如图2,在△ABC中,AB=AC,若
AB
BC
5
−1
2
,则请你求出∠A的度数;
(3)如图3,如果在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB上的高,∠A、∠B、∠ACB的对边分别为a,b,c.若点D是AB的黄金分割点,那么该直角三角形的三边a,b,c之间是什么数量关系?并证明你的结论.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=72°,
又CD是∠ACB的角平分线,
∴∠ACD=∠BCD=36°,
∴∠A=∠DCA,∠BDC=72°,
∴AD=CD=BC,
在△BCD和△BAC中,
∠B=∠B,∠BCD=∠A,
∴△BCD∽△BAC,
BC
AB
BD
BC

∴BC2=AB•BD又BC=AD,(1分)
∴AD2=AB•BD,
∴D是AB的黄金分割点;

(2)在底边BC上截取BD=AB,连接AD,
AB
BC
5
−1
2
,AB=AC,
BD
BC
5
−1
2

AC
BC
5
−1
2

CD
BD
CD
AC
5
−1
2

CD
AC
AC
BC

又∠C=∠C,
∴△ACD∽△BCA,
∴设∠CAB=∠CDA=x,
∴∠BAD=∠BDA=2x,
∴x+2x+x+x=180°,
∴x=36°,
∴∠BAC=108°;

(3)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
CD为AB上的高,
∴△ADC∽△CDB∽△ACB,
AD
AC
AC
AB
BD
BC
BC
AB

AD=
b2
c
BD=
a2
c
,(1分)
∵点D是AB的黄金分割点,
∴AD2=BD•AB,(1分)
(
b2
c
)2=
a2
c
•c,
该直角三角形的三边a,b,c之间应满足b2=ac.
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