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黄金分割比是生活中比较多见的一种长度比值,它能给人许多美感和科学性,我们初中阶段学过的许多几何图形也有着类似的边长比例关系.例如我们熟悉的顶角是36°的等腰三角形,其底与
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黄金分割比是生活中比较多见的一种长度比值,它能给人许多美感和科学性,我们初中阶段学过的许多几何图形也有着类似的边长比例关系.例如我们熟悉的顶角是36°的等腰三角形,其底与腰之比就为黄金分割比
,底角平分线与腰的交点为黄金分割点.
(1)如图1,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,∠ACB的角平分线CD交腰AB于点D,请你证明点D是腰AB的黄金分割点;
(2)如图2,在△ABC中,AB=AC,若
=
,则请你求出∠A的度数;
(3)如图3,如果在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB上的高,∠A、∠B、∠ACB的对边分别为a,b,c.若点D是AB的黄金分割点,那么该直角三角形的三边a,b,c之间是什么数量关系?并证明你的结论.

| ||
2 |
(1)如图1,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,∠ACB的角平分线CD交腰AB于点D,请你证明点D是腰AB的黄金分割点;
(2)如图2,在△ABC中,AB=AC,若
AB |
BC |
| ||
2 |
(3)如图3,如果在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB上的高,∠A、∠B、∠ACB的对边分别为a,b,c.若点D是AB的黄金分割点,那么该直角三角形的三边a,b,c之间是什么数量关系?并证明你的结论.

▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=72°,
又CD是∠ACB的角平分线,
∴∠ACD=∠BCD=36°,
∴∠A=∠DCA,∠BDC=72°,
∴AD=CD=BC,
在△BCD和△BAC中,
∠B=∠B,∠BCD=∠A,
∴△BCD∽△BAC,
∴
=
,
∴BC2=AB•BD又BC=AD,(1分)
∴AD2=AB•BD,
∴D是AB的黄金分割点;
(2)在底边BC上截取BD=AB,连接AD,
∵
=
,AB=AC,
∴
=
,
∴
=
,
∴
=
=
,
∴
=
,
又∠C=∠C,
∴△ACD∽△BCA,
∴设∠CAB=∠CDA=x,
∴∠BAD=∠BDA=2x,
∴x+2x+x+x=180°,
∴x=36°,
∴∠BAC=108°;
(3)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
CD为AB上的高,
∴△ADC∽△CDB∽△ACB,
∴
=
,
=
∴AD=
,BD=
,(1分)
∵点D是AB的黄金分割点,
∴AD2=BD•AB,(1分)
∴(
)2=
•c,
该直角三角形的三边a,b,c之间应满足b2=ac.
∴∠ABC=∠ACB=72°,
又CD是∠ACB的角平分线,
∴∠ACD=∠BCD=36°,
∴∠A=∠DCA,∠BDC=72°,
∴AD=CD=BC,
在△BCD和△BAC中,
∠B=∠B,∠BCD=∠A,
∴△BCD∽△BAC,
∴
BC |
AB |
BD |
BC |
∴BC2=AB•BD又BC=AD,(1分)
∴AD2=AB•BD,
∴D是AB的黄金分割点;
(2)在底边BC上截取BD=AB,连接AD,
∵
AB |
BC |
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2 |
∴
BD |
BC |
| ||
2 |
∴
AC |
BC |
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2 |
∴
CD |
BD |
CD |
AC |
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2 |
∴
CD |
AC |
AC |
BC |
又∠C=∠C,
∴△ACD∽△BCA,
∴设∠CAB=∠CDA=x,
∴∠BAD=∠BDA=2x,
∴x+2x+x+x=180°,
∴x=36°,
∴∠BAC=108°;
(3)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
CD为AB上的高,
∴△ADC∽△CDB∽△ACB,
∴
AD |
AC |
AC |
AB |
BD |
BC |
BC |
AB |
∴AD=
b2 |
c |
a2 |
c |
∵点D是AB的黄金分割点,
∴AD2=BD•AB,(1分)
∴(
b2 |
c |
a2 |
c |
该直角三角形的三边a,b,c之间应满足b2=ac.

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