在△ABC中,D是BC的中点,已知∠BAD+∠C=90°,是判断△ABC的形状.其中sin2A=sin2B是怎么来的?

Question

在△ABC中,D是BC的中点,已知∠BAD+∠C=90°,是判断△ABC的形状.其中sin2A=sin2B是怎么来的?

Answer 1

∵∠BAD+∠C=90°∴∠CAD+∠B=180-∠BAD-∠C=90°
设∠BAD=α,∠B=β则∠C=90º-α,∠CAD=90º-β
在△ABD和△ACD中,sinα：sinβ=BD:AD;sin﹙90-β﹚：﹙sin90-α﹚=CD:AD
∵D是BC的中点,∴BD=CD
∴sinα：sinβ=sin﹙90-β﹚：﹙sin90-α﹚=cosβ:cosα
∴sinαcosα=sinβcosβ∴sin2α=sin2β
∴2α=2β或2α+2β=180º
∴α=β或α+β=90
∴BD=AD=CD或AD⊥CD
∴∠BAC=90º或AB=AC
∴△ABC是直角或等腰三角形