求不定方程x2+y2=z4,（x,y）=1,2整除x的正整数解

Question

求不定方程x2+y2=z4,（x,y）=1,2整除x的正整数解

Answer 1

由已知得 x^2+y^2=(z^2)^2 ,
所以 x=2mn ,y=|m^2-n^2| ,z^2=m^2+n^2 ,其中 (m,n)=1 ,
由 z^2=m^2+n^2 得 m=|a^2-b^2| ,n=2ab ,z=a^2+b^2 ,其中 (a,b)=1 ,
代入可得原方程的解为 x=4ab|a^2-b^2| ,y=|a^4+b^4-6a^2b^2| ,z=a^2+b^2 ,其中 (a,b)=1 .