已知非齐次线性方程组x1+x2+x3+x4＝−14x1+3x2+5x3−x4＝−1ax1+x2+3x3+bx4＝1有3个线性无关的解．（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A的秩r（A）=2；（Ⅱ）求a，b的值及方程组的通解．

Question

已知非齐次线性方程组

x1+x2+x3+x4＝−1

4x1+3x2+5x3−x4＝−1

ax1+x2+3x3+bx4＝1

有3个线性无关的解．
（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A的秩r（A）=2；
（Ⅱ）求a，b的值及方程组的通解．

Answer 1

（Ⅰ）
设：A为非齐次线性方程组的系数矩阵，X₁，X₂，X₃是方程组的3个线性无关的解，
则：对应导出组AX=0的基础解系中解的个数不少于2，
即：4-r（A）≥2，从而：r（A）≤2，
又因为A的行向量是两两线性无关的，
所以：r（A）≥2，
于是：r（A）=2．
（Ⅱ）
对方程组的增广矩阵作初等行变换：

A|β

＝

1	1	1	1	−1
4	3	5	−1	−1
a	1	3	b	1

→

1	1	1	1	−1
0	−1	1	−5	3
0	0	4−2a	4a+b−5	4−2a

，
由r（A）=2，得出：a=2，b=-3，
代入后继续作初等行变换：得：

作业帮用户 2017-11-08

问题解析

（1）写出系数矩阵，进行计算变换，不等式说明可求得秩为2．
（2）解得秩根据系数矩阵求解a，b，最后根据方程求得通解．

名师点评

本题考点：

线性无关组与其所在向量组的极大无关组；基础解系、通解及解空间的概念．

考点点评：

本题主要考查线性无关组的基础解系、通解，在做此类型题目时，一定要明白其定义再进行计算，方法相同．

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