利用初等变换求下列矩阵的逆阵(1,1,1,1;1,1,-1,-1;1,-1,1,-1;1,-1,-1,1)

Question

利用初等变换求下列矩阵的逆阵(1,1,1,1;1,1,-1,-1;1,-1,1,-1;1,-1,-1,1)

Answer 1

用初等行变化求矩阵的逆矩阵的时候,
即用行变换把矩阵(A,E)化成(E,B)的形式,那么B就等于A的逆
在这里
(A,E)=
1 1 1 1 1 0 0 0
1 1 -1 -1 0 1 0 0
1 -1 1 -1 0 0 1 0
1 -1 -1 1 0 0 0 1 第2行减去第1行,第3行减去第1行,第4行减去第1行
1 1 1 1 1 0 0 0
0 0 -2 -2 -1 1 0 0
0 -2 0 -2 -1 0 1 0
0 -2 -2 0 -1 0 0 1 第2,3,4行分别除以-2
1 1 1 1 1 0 0 0
0 0 1 1 1/2 -1/2 0 0
0 1 0 1 1/2 0 -1/2 0
0 1 1 0 1/2 0 0 -1/2 第2行加上第3行,第2行加上第4行
1 1 1 1 1 0 0 0
0 2 2 2 3/2 -1/2 -1/2 -1/2
0 1 0 1 1/2 0 -1/2 0
0 1 1 0 1/2 0 0 -1/2 第2行除以2
1 1 1 1 1 0 0 0
0 1 1 1 3/4 -1/4 -1/4 -1/4
0 1 0 1 1/2 0 -1/2 0
0 1 1 0 1/2 0 0 -1/2
第1行减去第2行,第3行减去第2行,第4行减去第2行
1 0 0 0 1/4 1/4 1/4 1/4
0 1 1 1 3/4 -1/4 -1/4 -1/4
0 0-1 0 -1/4 1/4 -1/4 1/4
0 0 0-1 -1/4 1/4 1/4 -1/4
第2行加上第3行,第2行加上第4行,第3、4行乘以-1
1 0 0 0 1/4 1/4 1/4 1/4
0 1 0 0 1/4 1/4 -1/4 -1/4
0 0 1 0 1/4 -1/4 1/4 -1/4
0 0 0 1 1/4 -1/4 -1/4 1/4
这样就已经通过初等行变换把(A,E)～(E,A^-1)
于是得到了原矩阵的逆矩阵就是
1/4 1/4 1/4 1/4
1/4 1/4 -1/4 -1/4
1/4 -1/4 1/4 -1/4
1/4 -1/4 -1/4 1/4