设z1,z2为一对共轭复数,如果|z1-z2|=√6且z1/(z2)^2为实数,则|z1|=|z2|=?

Question

设z1,z2为一对共轭复数,如果|z1-z2|=√6 且z1/(z2)^2为实数,则|z1|=|z2|=?

Answer 1

设 z1=a+bi ,则 z2=a-bi ,
由已知得 |2bi|=√6 ,所以 |b|=√6/2 ,
设 (a+bi)/(a-bi)^2=(a+bi)/(a^2-b^2-2abi)=k ,
那么 a+bi=k(a^2-b^2)-2abki ,
比较系数得 a=k(a^2-b^2) ,b= -2abk ,
解得 a= -√2/2 ,b=±√6/2 或 a= √2/2 ,b=±√6/2 ,
因此 |z1|=|z2|=√(a^2+b^2)=√2 .