无穷数列P：a1，a2，…，an，…，满足ai∈N*，且ai≤ai+1（i∈N*），对于数列P，记Tk（P）=min{n|an≥k}（k∈N*），其中min{n|an≥k}表示集合{n|an≥k}中最小的数．（Ⅰ）若数列P：1‚3‚4‚7‚…，

Question

无穷数列 P：a₁，a₂，…，a_n，…，满足a_i∈N^*，且a_i≤a_i+1（i∈N^*），对于数列P，记T_k（P）=min{n|a_n≥k}（k∈N^*），其中min{n|a_n≥k}表示集合{n|a_n≥k}中最小的数．
（Ⅰ） 若数列P：1‚3‚4‚7‚…，写出T₁（P），T₂（P），…，T₅（P）；
（Ⅱ）若T_k（P）=2k-1，求数列P 前n项的和；
（Ⅲ）已知a₂₀=46，求s=a₁+a₂+…+a₂₀+T₁（P）+T₂（P）+…+T₄₆（P）的值．

Answer 1

（Ⅰ）∵数列P：1‚3‚4‚7‚…，即从第三项起每项是前两项的和，
∴T₁（P）=1，T₂（P）=2，T₃（P）=2，T₄（P）=3，T₅（P）=4；
（Ⅱ）∵T_k（P）=2k-1，
∴T₁（P）=1，T₂（P）=3，T₃（P）=5，T₄（P）=7，…
∵T₂（P）=3，且T_k（P）=min{n|a_n≥k}（k∈N^*），
∴a₃≥2，且a₂<2，
同理，由T₃（P）=5，且T_k（P）=min{n|a_n≥k}（k∈N^*），
得a₅≥3，a₄<3，
以此类推，得a₇≥4，a₆<4；…；a_2n-1≥n，a_2n-2∵a_i≤a_i+1（i∈N^*），a_i∈N^*，
∴a₁=a₂=1，a₃=a₄=2，…，a_2n-1=a_2n=n，…
当n为奇数时，a₁+a₂+a₃+…+a_n=2（1+2+…+(n-1)/(2)）+(n+1)/(2)=((n+1)2)/(4)，
当n为偶数时，a₁+a₂+a₃+…+a_n=2（1+2+…+(n)/(2)）=(n2+2n)/(4)，
∴数列{a_n}前n项的和S_n=

((n+1)2)/(4)，	n为奇数
(n2+2n)/(4)，	n为偶数

；
（Ⅲ）考查符合条件的数列P中，
若存在某个i（1≤i≤19）满足a_i≤a_i+1，
对应可得T_k（P），及s=a₁+a₂+…+a₂₀+T₁（P）+T₂（P）+…+T₄₆（P）．
∵T_k（P）=min{n|a_n≥k}（k∈N^*），∴Tai+1（P）=i+1，
下面将数列P略作调整，仅将第a_i的值增加1，具体如下：
将a_j′=a_j+1，对于任何j（j≠1）令a_j′=a_j，可得数列P′及其对应数列T_k（P′），
根据数列T_k（P′）的定义，可得Tai+1（P′）=i，且T_j（P′）=T_j（P）（j≠a_i+1）．
显然Tai+1（P′）=Tai+1（P）-1，
∴s′=a₁′+a₂′+…+a₂₀′+T₁（P′）+T₂（P′）+…+T₄₆（P′）
=a₁+a₂+…+a_i-1+（a_i+1）+a_i+1+…+a₂₀+T₁（P）+T₂（P）+…+（Tai+1-1）+Tai+2+…+T₄₆（P）
=a₁+a₂+…+a₂₀+T₁（P）+T₂（P）+…+T₄₆（P）=s，
即调整后s′=s．
如果数列{a_n′}还有存在相邻两项不相等，继续做以上的操作，
最终一定可以经过有限次的操作，使得{a_n}中的每一项变为相等，
且操作中保持s的值不变，
而当a₁=a₂=…=a₂₀=46时，T₁（P）=T₂（P）=…=T₄₆（P）=1，
∴s=a₁+a₂+…+a₂₀+T₁（P）+T₂（P）+…+T₄₆（P）=46×20+46=966．