对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．

Question

对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．
（1）验证g（x）=x+sin(x)/(3)是以6π为周期的余弦周期函数；
（2）设a<b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x₀∈[a，b]，使得f（x₀）=c；
（3）证明：“u₀为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充分条件是“u₀+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．

Answer 1

（1）g（x）=x+sin(x)/(3)；
∴cosg(x+6π)=cos(x+6π+sin(x+6π)/(3))=cos(x+sin(x)/(3))=cosg（x）
∴g（x）是以6π为周期的余弦周期函数；
（2）∵f（x）的值域为R；
∴存在x₀，使f（x₀）=c；
又c∈[f（a），f（b）]；
∴f（a）≤f（x₀）≤f（b），而f（x）为增函数；
∴a≤x₀≤b；
即存在x₀∈[a，b]，使f（x₀）=c；
（3）证明：若u₀+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解；
则：cosf（u₀+T）=1，T≤u₀+T≤2T；
∴cosf（u₀）=1，且0≤u₀≤T；
∴u₀为方程cosf（x）=1在[0，T]上的解；
∴“u₀为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解”的充分条件是“u₀+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”；下面证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）：
①当x=0时，f（0）=0，∴显然成立；
②当x=T时，cosf（2T）=cosf（T）=1；
∴f（2T）=2k₁π，（k₁∈Z），f（T）=4π，且2k₁π>4π，∴k₁>2；
1）若k₁=3，f（2T）=6π，由（2）知存在x₀∈（0，T），使f（x₀）=2π；
cosf（x₀+T）=cosf（x₀）=1⇒f（x₀+T）=2k₂π，k₂∈Z；
∴f（T）<f（x₀+T）<f（2T）；
∴4π<2k₂π<6π；
∴2<k₂<3，无解；
2）若k₁≥5，f（2T）≥10π，则存在T<x₁<x₂<2T，使得f（x₁）=6π，f（x₂）=8π；
则T，x₁，x₂，2T为cosf（x）=1在[T，2T]上的4个解；
但方程cosf（x）=1在[0，2T]上只有f（x）=0，2π，4π，3个解，矛盾；
3）当k₁=4时，f（2T）=8π=f（T）+f（T），结论成立；
③当x∈（0，T）时，f（x）∈（0，4π），考查方程cosf（x）=c在（0，T）上的解；
设其解为f（x₁），f（x₂），…，f（x_n），（x₁<x₂<…<x_n）；
则f（x₁+T），f（x₂+T），…，f（x_n+T）为方程cosf（x）=c在（T，2T）上的解；
又f（x+T）∈（4π，8π）；
而f（x₁）+4π，f（x₂）+4π，…，f（x_n）+4π∈（4π，8π）为方程cosf（x）=c在（T，2T）上的解；
∴f（x_i+T）=f（x_i）+4π=f（x_i）+f（T）；
∴综上对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．