sin(2π/7)+sin(4π/7)+sin(6π/7)=?要根式解或者给出以这三个数为解的实数系三次方程我知道了它们的积，想知道它们的和得根式表达式，然后根据韦达定理用解方程的方法把它们分别解出来所以

Question

sin(2π/7)+sin(4π/7)+sin(6π/7)=?
要根式解
或者给出以这三个数为解的实数系三次方程
我知道了它们的积，想知道它们的和得根式表达式，
然后根据韦达定理用解方程的方法把它们分别解出来
所以才要解出它们的和的根式表达式
其实我最终的目的就是要得到七次单位根的根式表达式
你上面给出的两个余弦的等式我已经知道并已经解出
cos(2π/7) cos(4π/7) cos(6π/7)的根式表达式了
我还用了解x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0
的方法来算七次单位根，

Answer 1

sin(a+b)=sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b)
sin2a=2sina*cosa
cos2a=2(cos(a))^2-1
所以sin(2π/7)+sin(4π/7)+sin(6π/7)
=sin(2π/7)+sin(4π/7)+sin(2π/7+4π/7)
=sin(2π/7)+sin(4π/7)+sin(2π/7)*cos(4π/7)+cos(2π/7)*sin(4π/7)
=sin(2π/7)*(1+cos(4π/7))+sin(4π/7)*(1+cos(2π/7))
=2sin(2π/7)*(cos(2π/7))^2+2sin(2π/7)*cos(2π/7)*(1+cos(2π/7))
=sin(4π/7)*(2cos(2π/7)+1)