已知,如图,AD为Rt△ABC斜边BC上的高,点E为DA延长线上一点,连接BE,过点C作CF⊥BE于点F,交AB、AD于M、N两点．（1）若线段AM、AN的长是关于x的一元二次方程x2-2mx+n2-mn+54m2=0的两个实数根,求证：AM=AN；

Question

已知,如图,AD为Rt△ABC斜边BC上的高,点E为DA延长线上一点,连接BE,过点C作CF⊥BE于点F,交AB、AD于M、N两点．
（1）若线段AM、AN的长是关于x的一元二次方程x2-2mx+n2-mn+ 54m2=0的两个实数根,求证：AM=AN；
（2）若AN= 158,DN= 98,求DE的长；
（3）若在（1）的条件下,S△AMN：S△ABE=9：64,且线段BF与EF的长是关于y的一元二次方程5y2-16ky+10k2+5=0的两个实数根,求BC的长．
第（3）小题，图片菁优网里有，

Answer 1

（1）证明：△=(-2m)²-4(n²-mn+54m²)=-(m-2n)²≥0
∴（m-2n）²≥0
∴m-2n=0
∴△=0
∴一元二次方程 x²-2mx+n²-mn+54m²=0
有两个相等的实数根
∴AM=AN；
（2）∵∠BAC=90°,AD⊥BC
∴∠ADC=∠ADB=90°,∠DAC=∠DBA
∴△ADC∽△BDA
∴ ADBD=DCAD
∴AD²=BD•DC
∵CF⊥BE
∴∠FCB+∠EBD=90°
∵∠E+∠EBD=90°
∴∠E=∠FCB
∵∠NDC=∠EDB=90°
∴△EBD∽△CND
∴ EDCD=BDDN
∴BD•DC=DN•ED
∴AD²=DN•ED
∵AN= 158,DN= 98
∴AD=DN+AN=3
∴3²= 98DE
∴DE＝8
（3）由（1）知AM=AN
∴∠AMN=∠ANM
∵∠AMN+∠CAN=90°,∠DNC+∠NCD=90°
∴∠ACM=∠NCD
∵∠BMF+∠FBM=90°,∠AMC+∠ACM=90°,
∴∠ACM=∠FBM
由（2）可知∠E=∠FCB
∴∠ABE=∠E
∴AB=AE
过点M作MG⊥AN于点G
由MG∥BD得 MG/BD= AM/AB
∴ S△AMN/S△ABE= (1/2 AN•MG)/(1/2 AE•BD)= AM²/AB²= 9/64
∴ AM/AB= 3/8
∴ AN/AE= AM/AB= 3/8
过点A作AH⊥EF于点H
由AH∥FN,
得 EH/HF= AE/AN= 8/3,
设EH=8a,则FH=3a,
∵AE=AB
∴BH=HE=8a
∴BF=5a,EF=11a
由根与系数关系得,BF+EF=16a=16/5 k
BF•EF=55a²=2k²+1
解得：a=± √5/5
∵a＞0,a=√5/5
∴BF= √5
由∠ACM=∠MCB,∠DAC=∠DBA可知△ACN∽△BCM,
∴ AC/BC= AN/BM= 3/5
设AC=3b,则BC=5b
在Rt△ABC中,有AB=4b．
∴AM= 3/2 b．
在Rt△ACM中,有MC= 3√5/2 b
由△ACM∽△FCB得 BC/BF=CM/AM,∴BC/5=(3√5/2 b)/(3/2 b)
∴BC=5．