已知t为一元二次方程x2-3x+1=0的根．（1）对任一给定的有理数a，求有理数b，c，使得（t+a）（bt+c）=1成立；（2）1t2+2表示成dt+e的形式，其中d，e为有理数．

Question

已知t为一元二次方程x²-3x+1=0的根．
（1）对任一给定的有理数a，求有理数b，c，使得（t+a）（bt+c）=1成立；
（2）(1)/(t2+2)表示成dt+e的形式，其中d，e为有理数．

Answer 1

（1）解方程x²-3x+1=0得t=(3±√(5))/(2)是无理数，
由（t+a）（bt+c）=1得bt²+（ab+c）t+ac-1=0，
∵t²-3t+1=0，
∴t²=3t-1，
于是上式可化为（3b+ab+c）t-b+ac-1=0
由于t是无理数，故有

3b+ab+c＝0

−b+ac−1＝0

∵a，b是有理数，∵a²+3a+1≠0，由上面方程组解得：
b=-(1)/(a2+3a+1)，c=(a+3)/(a2+3a+1)

（2）因为x²+2=（3t-1）+2=3t+1=3（t+(1)/(3)），
由（1）知，对a=(1)/(3)，有b=-(1)/(a2+3a+1)=-(9)/(19)，c=(a+3)/(a2+3a+1)=(30)/(19)，
使得（t+(1)/(3)）（-(9)/(19)t+(30)/(19)）=1，
从而(1)/(t2+2)=(1)/(3)（-(9)/(19)t+(30)/(19)）=-(3)/(19)t+(10)/(19)．