如图，长方形ABCD在平面直角坐标系中，点A（1，8），B（1，6），C（7，6）．（1）请直接写出D点的坐标．（2）连接线段OB、OD、BD，请直接求出△OBD的面积．（3）若长方形ABCD以每秒1

Question

如图，长方形ABCD在平面直角坐标系中，点A（1，8），B（1，6），C（7，6）．
（1）请直接写出D点的坐标______．
（2）连接线段OB、OD、BD，请直接求出△OBD的面积______．
（3）若长方形ABCD以每秒1个单位的速度向下运动，设运动的时间为t秒，问是否存在某一时刻，△OBD的面积与长方形ABCD的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是长方形，
∴AB=DC，AD=BC，
∵点A（1，8），B（1，6），C（7，6）．
∴AD∥x轴，AB∥DC∥y轴，
∴D的坐标是（7，8），
故答案为：（7，8）．

（2）延长AB交x轴于M，延长DC交x轴于N，
∵A（1，8），B（1，6），C（7，6），D（7，8），
∵OM=1，BM=6，DN=8，NM=AD=7-1=6，ON=7，
∴S_△OBD=S_△BMO+S_梯形BMND-S_△DNO
=(1)/(2)×OM×BM+(1)/(2)×（BM+DN）×MN-(1)/(2)×DN×ON
=(1)/(2)×6×1+(1)/(2)×（6+8）×6-(1)/(2)×8×7
=17．
故答案为：17．

（3）存在某一时刻，△OBD的面积与长方形ABCD的面积相等，
分为两种情况：
①
当在第一象限内时，作AE⊥y轴，S_矩形ABCD=2×6=12，
则由：S_△OBD=S_△ODE-S_△ABD-S_梯形AEOB=12，
(7(8−t))/(2)-6-((2+8−t)×1)/(2)=12，
t=(5)/(3)；
②
当在第四象限时，作BM⊥y轴于M，
则有：S_△OBD=S_梯形CDOM-S_△BCD-S_△BOM=12，
(7(2+t−6))/(2)-6-(1×(t−6))/(2)=12，
解得t=(29)/(2)