已知正方形ABCD，E为平面内任意一点，连结DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到DG，连结EC，AG．（1）当点E在正方形ABCD内部时，①依题意补全图形；②判断AG与CE的数量关系与位置关系并写出

Question

已知正方形ABCD，E为平面内任意一点，连结DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到DG，连结EC，AG．
（1）当点E在正方形ABCD内部时，
①依题意补全图形；
②判断AG与CE的数量关系与位置关系并写出证明思路．
（2）当点B，D，G在一条直线时，若AD=4，DG=√(2)，求CE的长．

Answer 1

证明：（1）
①依题意补全图形，如图1所示，

②AG=CE，AG⊥CE．
证明思路如下：

由正方形ABCD，可得AD=CD，∠ADC=90°，
由DE绕着点D顺时针旋转90°得DG，
∴∠GDE=∠ADC=90°，GD=DE
∴∠GDA=∠EDC．
∵DG=DE，AD=CD，
∴△AGD≌△CED，
∴AG=CE．
延长CE分别交AG、AD于点F、H，
∵△AGD≌△CED，
∴∠GAD=∠ECD，
∵∠AHF=∠CHD，
∴∠AFH=∠HDC=90°
∴AG⊥CH．
（2）当点G在线段BD的延长线上时，如图3所示．

过G作GM⊥AD于M．
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB=∠GDM=45°．
∵GM⊥AD，DG=√(2)，
∴MD=MG=1
在Rt△AMG中，由勾股定理，得AG=√(AM2+MG2)=√(26)
∴CE=AG=√(26)
当点G在线段BD上时，如图4所示．

过G作GM⊥AD于M．
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADG=45°
∵GM⊥AD，DG=√(2)，
∴MD=MG=1
在Rt△AMG中，由勾股定理，得AG=√(AM2+MG2)=√(10)，
∴CE=AG=√(10)
故CE的长为√(26)或√(10)．