已知函数f（x）=ex+ax-1（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当a=1时，求过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；（Ⅱ）若f（x）≥x2在（0，1）上恒成立，求实数a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=e^x+ax-1（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）当a=1时，求过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
（Ⅱ）若f（x）≥x²在（0，1 ）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（I）当a=1时，f（x）=e^x+x-1，f（1）=e，f'（x）=e^x+1，f'（1）=e+1，
函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-e=（e+1）（x-1），即y=（e+1）x-1，
设切线与x轴、y轴的交点分别为A、B，
∴A((1)/(e+1)，0)，B（0，-1），
∴S△OAB＝(1)/(2)×(1)/(e+1)×1＝(1)/(2(e+1))，
∴过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为(1)/(2(e+1))．
（II）由f（x）≥x²得a≥(1+x2−ex)/(x)，
令h（x）=(1+x2−ex)/(x)＝(1)/(x)+x−(ex)/(x)，h′(x)＝1−(1)/(x2)−(ex(x−1))/(x2)＝((x−1)(x+1−ex))/(x2)，
令k（x）=x+1-e^x…（6分）k'（x）=1-e^x，
∵x∈（0，1），∴k'（x）＜0，
∴k（x）在（0，1）上是减函数，∴k（x）＜k（0）=0．
因为x-1＜0，x²＞0，所以h′(x)＝((x−1)(x+1−ex))/(x2)＞0，
∴h（x）在（0，1）上是增函数．
所以h（x）＜h（1）=2-e，所以a≥2-e…（12分）