已知函数f（x）=lnx+kex（其中k∈R，e=2.71828…是自然对数的底数），f′（x）为f（x）的导函数．（1）若f′（1）=0，求函数g（x）=f（x）ex-x的极大值；（2）若x∈（0，1]时，方程f′（x）=0有解

Question

已知函数f（x）=(lnx+k)/(ex)（其中k∈R，e=2.71828…是自然对数的底数），f′（x）为f（x）的导函数．
（1）若f′（1）=0，求函数g（x）=f（x）e^x-x的极大值；
（2）若x∈（0，1]时，方程f′（x）=0有解，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）由f（x）=(lnx+k)/(ex)，
得f′（x）=(1-kx-xlnx)/(xex)，x∈（0，+∞），
由f′（1）=0得：k=1，
∴g（x）=lnx+1-x，g′（x）=(1-x)/(x)，
∴g（x）在（0，1]递增，在（1，+∞）递减，
∴g（x）的最大值是g（1）=0；
（2）由f′（x）=0，得k=(1-xlnx)/(x)，
令F（x）=(1-xlnx)/(x)，
∵0<x≤1，∴F′（x）=-(x+1)/(x2)<0，
∴F（x）在区间（0，1]上递减，
当x→0时，F（x）→+∞，
故F（x）≥F（1）-1，
即k≥1，
故k的范围是[1，+∞）．