关于π是无理数若tanX是0以外的有理数,则X必为无理数；②若X是0以外的有理数,则e的x次方是0以外的有理数,则x必为无理数有任何一条的详细证明,必然重重感谢

题目详情

关于π是无理数
若tanX是0以外的有理数,则X必为无理数；②若X是0以外的有理数,则e的x次方是0以外的有理数,则x必为无理数
有任何一条的详细证明,必然重重感谢

▼优质解答

答案和解析

用反证法.需要一点微积分,用于证明以下事实：tan(1)和e都是超越数.详见A.Baker,Transcendental Number Theory
对第一问,利用tan(nX)是tan(x)的有理函数,得到：如果存在有理数q、r,使得tan(q)=r,则存在整数N使得tan(N)是有理数,从而tan(1)是代数数,矛盾.
第二问同样,如果e^q=r,则有N使得e^N是有理数,从而e是代数数,矛盾.

看了关于π是无理数若tanX是0...的网友还看了以下：

设椭圆E:x²/a²+y²/1-a²=1的焦点在x轴上若椭圆E的焦距为1①求椭圆E的方程；②设F1 　2020-04-06 …

已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,且AE=FC1= 　2020-05-16 …

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，作CD⊥AB，垂足为D，E为弧BC的中点，连接AE、BE，　2020-05-16 …

正方形ABCD的边长为2,点E在边AD上移动,连接BE,作AP垂直于BE于P,连接CP,点Q在AB 　2020-05-17 …

从保证的内容看,保证可分为()A.默示保证B.承诺保证C.明示保证D.确认保证E.口头保证　2020-05-22 …

原始凭证按其取得的来源不同可分为（）.原始凭证按其取得的来源不同可分为（多选）.A累计凭证B一次凭　2020-06-10 …

质量为m的质点在流体中作直线运动,受与速度成正比的阻力F=-kv(k为常数)作用,t=0时质点的速　2020-06-12 …

若A^2=E,则A=?线形代数中的问题,其中A为方阵,E为单位阵A^2=E,若A不等于E,如何证( 　2020-06-18 …

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，E为棱CC1上的动点．（1）求证：A1E⊥B 　2020-07-09 …

求证e^i(4π/n)+e^i(8π/n)+...+e^i4(n-1)π/n+e^i(4nπ/n)= 　2020-11-01 …