关于π是无理数若tanX是0以外的有理数,则X必为无理数；②若X是0以外的有理数,则e的x次方是0以外的有理数,则x必为无理数有任何一条的详细证明,必然重重感谢

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关于π是无理数
若tanX是0以外的有理数,则X必为无理数；②若X是0以外的有理数,则e的x次方是0以外的有理数,则x必为无理数
有任何一条的详细证明,必然重重感谢

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答案和解析

用反证法.需要一点微积分,用于证明以下事实：tan(1)和e都是超越数.详见A.Baker,Transcendental Number Theory
对第一问,利用tan(nX)是tan(x)的有理函数,得到：如果存在有理数q、r,使得tan(q)=r,则存在整数N使得tan(N)是有理数,从而tan(1)是代数数,矛盾.
第二问同样,如果e^q=r,则有N使得e^N是有理数,从而e是代数数,矛盾.

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