已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．（1）当a=-1时，求f（x）的最大值；（2）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为-3，求a的值；（3）设g（x）=xf（x），若a>0，对于任

Question

已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．
（1）当a=-1时，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为-3，求a的值；
（3）设g（x）=xf（x），若a>0，对于任意的两个正实数x₁，x₂（x₁≠x₂），证明：2g（(x1+x2)/(2)）<g（x₁）+g（x₂）．

Answer 1

（1）易知f（x）定义域为（0，+∞），
当a=-1时，f（x）=-x+lnx，f′(x)=-1+(1)/(x)=(1-x)/(x)，
令f′（x）=0，得x=1．
当0<x<1时，f′（x）>0；当x>1时，f′（x）<0，
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．
f（x）_max=f（1）=-1．
∴函数f（x）在（0，+∞）上的最大值为-1，
（2）∵f′(x)=a+(1)/(x)，x∈(0，e]，(1)/(x)∈[(1)/(e)，+∞)．
①若a≥-(1)/(e)，则f′（x）≥0，从而f（x）在（0，e]上是增函数，
∴f（x）_max=f（e）=ae+1≥0，不合题意，
②若a<-(1)/(e)，则由f′(x)>0⇒a+(1)/(x)>0，即0<x<-(1)/(a)
由f′(x)<0⇒a+(1)/(x)<0，即-(1)/(a)<x≤e，
从而f（x）在（0，-(1)/(a)）上增函数，在（-(1)/(a)，e]为减函数
∴f(x)max=f(-(1)/(a))=-1+ln(-(1)/(a))
令-1+ln(-(1)/(a))=-3，则ln(-(1)/(a))=-2，
∴a=-e²，
（3）证明：∵g（x）=xf（x）=ax²+xlnx，x>0
∴g′(x)=2ax+1+lnx，g″(x)=2a+(1)/(x)>0，
∴g′（x）为增函数，不妨令x₂>x₁
令h(x)=g(x)+g(x1)-2g((x1+x)/(2))(x>x1)，
∴h′(x)=g′(x)-g′((x1+x)/(2))，
∵x>(x1+x)/(2)，
∴h′(x)=g′(x)-g′((x1+x)/(2))>0
而h（x₁）=0，知x>x₁时，h（x）>0
故h（x₂）>0，
即2g((x1+x2)/(2))<g(x1)+g(x