已知函数f（x）=aex-12x2-x（a∈R，e为自然对数的底数）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+（e-2）y-1=0垂直，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有两个极值点，求实

Question

已知函数f（x）=ae^x-(1)/(2)x²-x（a∈R，e为自然对数的底数）．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+（e-2）y-1=0垂直，求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；
（3）证明：当x>1时，e^xlnx>x-(1)/(x)．

Answer 1

（1）f（x）=ae^x-(1)/(2)x²-x的导数f′（x）=ae^x-x-1，
可得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为ae-2，
由切线与直线x+（e-2）y-1=0垂直，可得（ae-2）•（-(1)/(e-2)）=-1，
解得a=1，即f（x）=e^x-(1)/(2)x²-x的导数f′（x）=e^x-x-1，
令g（x）=e^x-x-1，g′（x）=e^x-1，
当x>0时，g′（x）>0，g（x）递增；当x<0时，g′（x）<0，g（x）递减．
即有g（x）≥g（0）=0，即有f′（x）≥0，
则f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）；
（2）解法一、由f′（x）=ae^x-x-1，
函数f（x）有两个极值点，即为h（x）=ae^x-x-1有两个零点，
h′（x）=ae^x-1，当a≤0时，h′（x）<0，h（x）递减，h（x）不可能有两个零点；
当a>0时，令h′（x）=0，可得x=-lna，
当x>-lna时，h′（x）>0，h（x）递增；当x<-lna时，h′（x）<0，h（x）递减．
可得x=-lna处h（x）有极小值也为最小值，
若函数h（x）有两个零点，则h（-lna）<0，即lna<0，即有0<a<1；
解法二、由f′（x）=ae^x-x-1，
函数f（x）有两个极值点，即为f′（x）=ae^x-x-1=0有两个不等的实根，
即有a=(x+1)/(ex)有两个不等实根．
令h（x）=(x+1)/(ex)，h′（x）=(-x)/(ex)，
当x>0时，h′（x）<0，h（x）递减；当x<0时，h′（x）>0，h（x）递增．
h（x）在x=0处取得最大值1，
当x>0时，h（x）>0，x→+∞，h（x）→0，
当x≤0时，h（0）=1，h（-2）=-e²<0，结合h（x）在（-∞，0）递增，可得h（x）在（-∞，0）只有一个零点；
故0<a<1．
（3）证明：由（1）可得x>1时，e^x>x+1>0，lnx>0，
即有e^xlnx>（x+1）lnx，
设φ（x）=（x+1）lnx-x+(1)/(x)，φ′（x）=lnx+(x+1)/(x)-1-(1)/(x2)=lnx+(1)/(x)（1-(1)/(x)）>0（x>1），
所以φ（x）在（1，+∞）递增，即有φ（x）>φ（1）=0，
即（x+1）lnx>x-(1)/(x)，
故当x>1时，e^xlnx>x-(1)/(x)．