函数y=ln（aex-x+2a2-3）（e为自然对数的底数）的值域是实数集R，则实数a的取值范围是（）A．（-∞，e]B．（-∞，1]C．[0，e]D．[0，1]

Question

函数y=ln（ae^x-x+2a²-3）（e为自然对数的底数）的值域是实数集R，则实数a的取值范围是（　　）

A．（-∞，e]
B．（-∞，1]
C．[0，e]
D．[0，1]

Answer 1

设g（x）=ae^x-x+2a²-3，则g′（x）=ae^x-1．
①当a≤0时，g′（x）＜0在R上恒成立，g（x）在R上是减函数，
x→+∞时，g（x）→-∞，x→-∞时，g（x）→+∞，
此时g（x）值域为R．符合要求．
②当a＞0时，由g′（x）=0得x=-lna．
由g′（x）＜0得x＜-lna，g（x）在（-∞，-lna）上单调递减．
由g′（x）＞0得x＞-lna，g（x）在（-lna，+∞）上单调递增．
∴g（x）_min=g（-lna）=2a²+lna-2．
下面研究g（x）最小值：
令h（a）=2a²+lna-2，则h′（a）=4a+(1)/(a)＞0（a＞0），h（a）在（0，+∞）上单调递增．
可知当a＞1时，g（x）_min＞0，当a=1时，g（x）_min=0，当a＜1时，g（x）_min＜0，
而x→+∞时，g（x）→+∞．所以0＜a≤1．
综上所述，实数a的取值范围是a≤0或0＜a≤1，即a∈（-∞，1]．
故选：B．