已知a，b为正实数，若直线y=x+a与曲线y=ex-b相切（其中e为自然对数的底数），则a22+b的取值范围为（）A.（0，12）B.（0，1）C.（0，+∞）D.[1，+∞）

Question

已知a，b为正实数，若直线y=x+a与曲线y=e^x-b相切（其中e为自然对数的底数），则

(a2)/(2+b)的取值范围为（　　）

A. （0，

(1)/(2)）

B. （0，1）

C. （0，+∞）

D. [1，+∞）

Answer 1

设切点为（m，n），
由y=e^x-b的导数为y′=e^x-b，
直线y=x+a与曲线y=e^x-b相切，
可得e^m-b=1，n=m+a=e^m-b，
即有m=b=1-a，
即a+b=1，（a，b∈（0，1）），
则(a2)/(2+b)=(a2)/(2+1-a)=(a2)/(3-a)，
令t=3-a，t∈（2，3），即a=3-t，
可得(a2)/(3-a)=((3-t)2)/(t)=t+(9)/(t)-6，
由t+(9)/(t)的导数为1-(9)/(t2)，
由2<t<3，可得1-(9)/(t2)<0，
则t+(9)/(t)在（2，3）递减，
可得t+(9)/(t)∈（6，(13)/(2)），
则(a2)/(2+b)的取值范围为（0，(1)/(2)）．
故选：A．