已知函数f（x）=ln（ekx+1）-x（其中e为自然对数的底数）为定义在R上的偶函数，且f（x）=lnu（x）．（1）求实数k的值，并求函数u（x）的表达式；（2）若函数g（x）=e2x+e-2x-2p•u（x）的最小值

Question

已知函数f（x）=ln（e^kx+1）-x（其中e为自然对数的底数）为定义在R上的偶函数，且f（x）=lnu（x）．
（1）求实数k的值，并求函数u（x）的表达式；
（2）若函数g（x）=e^2x+e^-2x-2p•u（x）的最小值为-3，求实数p的值；
（3）设函数h（x）=(e2x+m•ex+1)/((ex+1)2)，若对任意的x₁，x₂，x₃∈R，都有h（x₁）+h（x₂）≥h（x₃），求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）=ln（e^kx+1）-x=ln（e^kx+1）-lne^x=ln(ekx+1)/(ex)．f（-x）=ln(e-kx+1)/(e-x)=ln（e^-kx+x+e^x）．
∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（-x）=f（x）恒成立．
∴e^-kx+x+e^x=(ekx+1)/(ex)，即e^（1-k）x+e^x=e^（k-1）x+(1)/(e)恒成立，∴1-k=-1，k=2．
∴u（x）=(e2x+1)/(ex)=e^x+e^-x．
（2））g（x）=e^2x+e^-2x-2p•（e^x+e^-x）=（e^x+e^-x）²-2p（e^x+e^-x）-2，
令e^x+e^-x=t，则t≥2，令F（t）=t²-2pt-2．则F（t）的图象开口向上，对称轴为t=p，
①若p≤2，则F（t）在[2，+∞）上是增函数，∴g_min（x）=F_min（t）=F（2）=2-4p=-3，解得p=(5)/(4)．
②若p>2，则F（t）在[2，p]上是减函数，在（p，+∞）上是增函数，∴g_min（x）=F_min（t）=F（p）=-p²-2=-3．解得p=±1（舍）．
综上，p的值为(5)/(4)．
（3）∵对任意的x₁，x₂，x₃∈R，都有h（x₁）+h（x₂）≥h（x₃），∴2h_min（x）≥h_max（x）．
令e^x=t，则t>0，h（x）=(t2+mt+1)/((t+1)2)=1+(m-2)/(t+(1)/(t)+2)．
①当m>2时，h（x）在（0，1]上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，

lim

n→0

h(x)=1，

lim

n→+∞

h(x)=1，h（1）=1+(m-2)/(4)，∴h（x）∈（1，1+(m-2)/(4)]，
∴2≥1+(m-2)/(4)，解得2<m≤6．
②当m<2时，h（x）在（0，1]上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，

lim

n→0

h(x)=1，

lim

n→+∞

h(x)=1，h（1）=1+(m-2)/(4)，∴h（x）∈[1+(m-2)/(4)，1），
∴2+(m-2)/(2)≥1，解得0≤m<2．
③当m=2时，h（x）=1，显然成立．
综上，m的取值范围是[0，6]．